Необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка связана с тем, что многие проблемы теории фильтрации жидкости во фрактальной среде, фильтрации жидкости в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин приводят к дифференциальным уравнениям дробного порядка. Дробные производные применяются при описании физических процессов стохастического переноса, изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов. Численным методам решения уравнения диффузии дробного порядка в многомерных областях посвящены работы [3, 8]. Задачи, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины, рассмотрены в [4]. В работе [7] построена локально-одномерная схема для многомерного уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. В [2] рассмотрен случай многомерной задачи и построена локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границах области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. УСТОЙЧИВОСТЬ
В области рассматривается краевая задача для обобщенного уравнения диффузии с сосредоточенной теплоемкостью вида:
, (1)
(2)
, , (3)
где коэффициенты удовлетворяют условиям ; ; ; , – регуляризованная производная дробного порядка [6].
Для доказательства устойчивости решения задачи (1)-(3) будем пользоваться методом энергетических неравенств. После умножения уравнения (1) скалярно на получаем энергетическое тождество:
, (4)
где , норма .
Для второго скалярного произведения в правой части (4), интегрируя по частям с учетом краевых условий (2), будем иметь:
. (5)
Используя лемму 1 ([1], стр. 152) и учитывая условия на коэффициенты и , из (5) получим:
.
Для третьего интеграла в энергетическом тождестве (4) с учетом условия запишем:
.
Последнее скалярное произведение в тождестве (4) оценим с помощью -неравенства. Для будем иметь:
.
С учетом полученных неравенств из (4) имеем:
. (6)
Интегрируя (6) по от 0 до , получаем:
.
Пренебрегая положительным интегралом, получаем неравенство:
. (7)
Обозначим в последнем неравенстве и потребуем, чтобы . Будем иметь:
. (8)
Применяя лемму 1 для нестационарных задач ([1], стр. 152), из последнего получим:
, (9)
где – положительная величина, зависящая от коэффициентов уравнения и размеров области . Из априорной оценки (9) следует устойчивость решения задачи (1)-(3) по входным данным задачи, а также его единственность.
2. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА
В замкнутой области строится сетка , где – шаг сетки по переменной , – шаг сетки по переменной , , ; – число разбиений по переменной ; – число разбиений по переменной .
Для задачи (1)-(3) построена разностная схема:
(10) , (11)
, (12)
, , (13)
Здесь , , , , , , , , ,
– разностный аналог дробной производной , и в классе достаточно гладких функций справедливо равенство [9].
3. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
Для доказательства устойчивости разностной схемы (10)-(13) используем принцип максимума. Для этого схему приводим к каноническому виду [5]:
(14)
где – связная сетка; – окрестность узла , не содержащая самого узла . Для коэффициентов (14) должны выполняться условия:
(15)
Расписав (10) в индексной форме с учетом в точке получим:
. (16)
Сравнивая (16) с (14), видим:
, , .
Так как по условию , то
, , (17)
Здесь .
В точке , расписывая (11) в индексной форме, будем иметь:
. (18)
Ввиду условий ,, имеем:
, , . (19)
Аналогично, в точке для граничного условия (12) имеем:
. (20)
С учетом условий ,, имеем:
, , . (21)
Из неравенств (17), (19), (21) на основании теоремы 3 [5] для задачи (10)-(13) верна оценка:
, (22)
из которой следует устойчивость решения разностной схемы (10)-(13).
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М. Х., д.ф.-м.н., профессор ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, г. Нальчик;
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.
Библиографическая ссылка
Нахушева Ф.М., Кудаева Ф.Х., Кайгермазов А.А., Кармоков М.М. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЁМКОСТЬЮ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-2. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=22638 (дата обращения: 01.06.2024).